在四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的中点分别为P，Q，M，N；（1）如图1，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．（2）若在AB上取一点E，连结DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等边三角形

Question

在四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的中点分别为P，Q，M，N；
（1）如图1，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．
（2）若在AB上取一点E，连结DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等边三角形．
①判断此时四边形PQMN的形状，并证明你的结论；
②当AE=6，EB=3，求此时四边形PQMN的周长．

Answer 1

（1）连结AC、BD．
∵PQ为△ABC的中位线，
∴PQ∥AC，PQ=(1)/(2)AC，
同理MN∥AC．MN=(1)/(2)AC．
∴MN=PQ，MN∥PQ，
∴四边形PQMN为平行四边形；

（2）①四边形PQMN是菱形；
理由如下：设△ADE的边长是x，△BCE的边长是y，
∴DB²=（(1)/(2)x+y）²+（(√(3))/(2)x）²=x²+xy+y²，AC=（x+(1)/(2)y）²+（(√(3))/(2)y）²=x²+xy+y²，
∵平行四边形PQMN的对角线相等，
∴平行四边形PQMN是菱形；
②过点D作DF⊥AB于F，则DF=3√(3)
又∵DF²+FB²=DB²
∴DB=3√(7)
∴由①知四边形PQMN是菱形，可计算得周长是6√(7)．