已知四边形ABCD中,∠A＝∠B＝90°,∠C＝60°,CD＝2AD,AB=41在AB边上求作点P,使PC+PD最小2求出PC+PD的最小值说出问题一的作图依据.

Question

已知四边形ABCD中,∠A＝∠B＝90°,∠C＝60°,CD＝2AD,AB=4
【1】在AB边上求作点P,使PC+PD最小【2】求出 PC+PD的最小值
说出问题一的作图依据.

Answer 1

(1)延长DA到E,使AE=AD,连接CE,与AB交于P,此点即为PC+PD最小点.
依据：因为AB垂直且平分DE,所以在AB上的任一点,都有PD=PE,所以PC+PD=PC+PE,如果在AB上任取一点（P点除外）,都会构造成一个三角形,将有两边之和大于第三边,而CE为一条直线（即三角形第三边）为最小.
（2）从点E做CB延长线的垂线与CF交于F
由∠A＝∠B＝90°,∠C＝60°,CD＝2AD,知∠D=120°,CD=DE,∠ECD=30°,所以∠ECF=30°,在直角三角形ECF中,EF=AB=4,CE=2EF=8,即
PC+PD的最小值=8