如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=33．（Ⅰ）求△ACD的面积；（Ⅱ）若BC=23，求AB的长．

Question

如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=(√(3))/(3)．
（Ⅰ）求△ACD的面积；
（Ⅱ）若BC=2√(3)，求AB的长．

Answer 1

（共13分）
（Ⅰ）因为∠D=2∠B，cosB＝(√(3))/(3)，
所以 cosD＝cos2B＝2cos2B−1＝−(1)/(3)．…（3分）
因为∠D∈（0，π），
所以 sinD＝√(1−cos2D)＝(2√(2))/(3)．…（5分）
因为 AD=1，CD=3，
所以△ACD的面积S＝(1)/(2)AD•CD•sinD＝(1)/(2)×1×3×(2√(2))/(3)＝√(2)．…（7分）
（Ⅱ）在△ACD中，AC²=AD²+DC²-2AD•DC•cosD=12．
所以 AC＝2√(3)．…（9分）
因为 BC＝2√(3)，(AC)/(sinB)＝(AB)/(sin∠ACB)，…（11分）
所以 (2√(3))/(sinB)＝(AB)/(sin(π−2B))＝(AB)/(sin2B)＝(AB)/(2sinBcosB)＝(AB)/((2√(3))/(3)sinB)．
所以 AB=4．…（13分）