(2013宁夏)(10分)在平行四边形ABCD中,P是AB边上的任意一点,过P点作PE⊥AB,交AD于E,连结CE,CP．已知∠A=60°；(1)若BC=8,AB=6,当AP的长为多少时,△CPE的面积最大,并求出面积的最大值．(2)试探究当△CPE

Question

(2013 宁夏)(10分)在平行四边形ABCD中,P是AB边上的任意一点,过P点作PE⊥AB,交AD于E,连结CE,CP．已知∠A=60°； (1)若BC=8,AB=6,当AP的长为多少时,△CPE的面积最大,并求出面积的最大值． (2)试探究当△CPE≌△CPB时,平行四边形ABCD的两边AB与BC应满足什么关系?第二小问可以用初二方法做吗?

Answer 1

(1)延长PE交CD的延长线于F, 
设AP=x,△CPE的面积为y, 
∵四边形ABCD为平行四边形, 
∴AB=DC=6,AD=BC=8, 
∵Rt△APE,∠A=60°, 
∴∠PEA=30°, 
∴AE=2x,PE=x, 
在Rt△DEF中,∠DEF=∠PEA=30°,DE=AD﹣AE=8﹣2x, 
∴DF=DE=4﹣x, 
∵AB∥CD,PF⊥AB, 
∴PF⊥CD, 
∴S△CPE=PE•CF, 
即y=×x×(10﹣x)=﹣x2+5x, 
配方得：y=﹣(x﹣5)2+, 
当x=5时,y有最大值, 
即AP的长为5时,△CPE的面积最大,最大面积是； 
(2)当△CPE≌△CPB时,有BC=CE,∠B=∠PEC=120°, 
∴∠CED=180°﹣∠AEP﹣∠PEC=30°, 
∵∠ADC=120°, 
∴∠ECD=∠CED=180°﹣120°﹣30°=30°, 
∴DE=CD,即△EDC是等腰三角形, 
过D作DM⊥CE于M,则CM=CE, 
在Rt△CMD中,∠ECD=30°, 
∴cos30°==, 
∴CM=CD, 
∴CE=CD, 
∵BC=CE,AB=CD, 
∴BC=AB, 
则当△CPE≌△CPB时,BC与AB满足的关系为BC=AB．