如图，已知▱ABCD的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m>n>0），作▱ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1D（1）若m=3，试求四边形CC1B1B面积S的最大值；（2）若点B1恰好落在y轴上，试求nm

Question

如图，已知▱ABCD的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m>n>0），作▱ABCD关于直线AD的对称图形AB₁C₁D

（1）若m=3，试求四边形CC₁B₁B面积S的最大值；
（2）若点B₁恰好落在y轴上，试求(n)/(m)的值．

Answer 1

（1）如图1，
∵▱ABCD与四边形AB₁C₁D关于直线AD对称，
∴四边形AB₁C₁D是平行四边形，CC₁⊥EF，BB₁⊥EF，
∴BC∥AD∥B₁C₁，CC₁∥BB₁，
∴四边形BCEF、B₁C₁EF是平行四边形，
∴S_▱BCEF=S_▱BCDA=S_▱B1C1DA=S_▱B1C1EF，
∴S_▱BCC1B1=2S_▱BCDA．
∵A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）、m=3，
∴AB=m-n=3-n，OD=2n，
∴S_▱BCDA=AB•OD=（3-n）•2n=-2（n²-3n）=-2（n-(3)/(2)）²+(9)/(2)，
∴S_▱BCC1B1=2S_▱BCDA=-4（n-(3)/(2)）²+9．
∵-4<0，∴当n=(3)/(2)时，S_▱BCC1B1最大值为9；

（2）当点B₁恰好落在y轴上，如图2，
∵DF⊥BB₁，DB₁⊥OB，
∴∠B₁DF+∠DB₁F=90°，∠B₁BO+∠OB₁B=90°，
∴∠B₁DF=∠OBB₁．
∵∠DOA=∠BOB₁=90°，
∴△AOD∽△B₁OB，
∴(OA)/(OD)=(OB1)/(OB)，
∴(n)/(2n)=(OB1)/(m)，
∴OB₁=(m)/(2)．
由轴对称的性质可得AB₁=AB=m-n．
在Rt△AOB₁中，
n²+（(m)/(2)）²=（m-n）²，
整理得3m²-8mn=0．
∵m>0，∴3m-8n=0，
∴(n)/(m)=(3)/(8)．