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如图,已知▱ABCD的三个顶点A(n,0)、B(m,0)、D(0,2n)(m>n>0),作▱ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1D(1)若m=3,试求四边形CC1B1B面积S的最大值;(2)若点B1恰好落在y轴上,试求nm
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如图,已知▱ABCD的三个顶点A(n,0)、B(m,0)、D(0,2n)(m>n>0),作▱ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1D
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(1)若m=3,试求四边形CC1B1B面积S的最大值;
(2)若点B1恰好落在y轴上,试求
的值.
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(1)若m=3,试求四边形CC1B1B面积S的最大值;
(2)若点B1恰好落在y轴上,试求
n |
m |
▼优质解答
答案和解析
(1)如图1,
∵▱ABCD与四边形AB1C1D关于直线AD对称,
∴四边形AB1C1D是平行四边形,CC1⊥EF,BB1⊥EF,
∴BC∥AD∥B1C1,CC1∥BB1,
∴四边形BCEF、B1C1EF是平行四边形,
∴S▱BCEF=S▱BCDA=S▱B1C1DA=S▱B1C1EF,
∴S▱BCC1B1=2S▱BCDA.
∵A(n,0)、B(m,0)、D(0,2n)、m=3,
∴AB=m-n=3-n,OD=2n,
∴S▱BCDA=AB•OD=(3-n)•2n=-2(n2-3n)=-2(n-
)2+
,
∴S▱BCC1B1=2S▱BCDA=-4(n-
)2+9.
∵-4<0,∴当n=
时,S▱BCC1B1最大值为9;
(2)
当点B1恰好落在y轴上,如图2,
∵DF⊥BB1,DB1⊥OB,
∴∠B1DF+∠DB1F=90°,∠B1BO+∠OB1B=90°,
∴∠B1DF=∠OBB1.
∵∠DOA=∠BOB1=90°,
∴△AOD∽△B1OB,
∴
=
,
∴
=
,
∴OB1=
.
由轴对称的性质可得AB1=AB=m-n.
在Rt△AOB1中,
n2+(
)2=(m-n)2,
整理得3m2-8mn=0.
∵m>0,∴3m-8n=0,
∴
=
.
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∵▱ABCD与四边形AB1C1D关于直线AD对称,
∴四边形AB1C1D是平行四边形,CC1⊥EF,BB1⊥EF,
∴BC∥AD∥B1C1,CC1∥BB1,
∴四边形BCEF、B1C1EF是平行四边形,
∴S▱BCEF=S▱BCDA=S▱B1C1DA=S▱B1C1EF,
∴S▱BCC1B1=2S▱BCDA.
∵A(n,0)、B(m,0)、D(0,2n)、m=3,
∴AB=m-n=3-n,OD=2n,
∴S▱BCDA=AB•OD=(3-n)•2n=-2(n2-3n)=-2(n-
3 |
2 |
9 |
2 |
∴S▱BCC1B1=2S▱BCDA=-4(n-
3 |
2 |
∵-4<0,∴当n=
3 |
2 |
(2)
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∵DF⊥BB1,DB1⊥OB,
∴∠B1DF+∠DB1F=90°,∠B1BO+∠OB1B=90°,
∴∠B1DF=∠OBB1.
∵∠DOA=∠BOB1=90°,
∴△AOD∽△B1OB,
∴
OA |
OD |
OB1 |
OB |
∴
n |
2n |
OB1 |
m |
∴OB1=
m |
2 |
由轴对称的性质可得AB1=AB=m-n.
在Rt△AOB1中,
n2+(
m |
2 |
整理得3m2-8mn=0.
∵m>0,∴3m-8n=0,
∴
n |
m |
3 |
8 |
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