如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行

Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．

（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；
（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；
（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．

Answer 1

（1）证明：在▱ABCD中，
∵AD=AC，AD⊥AC，
∴AC=BC，AC⊥BC，
连接CE，
∵E是AB的中点，
∴AE=EC，CE⊥AB，
∴∠ACE=∠BCE=45°，
∴∠ECF=∠EAD=135°，
∵ED⊥EF，
∴∠CEF=∠AED=90°-∠CED，
在△CEF和△AED中，

∠CEF=∠AED

EC=AE

∠ECF=∠EAD

，
∴△CEF≌△AED，
∴ED=EF；
（2） 由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，
∵AD=AC，
∴AC=CF，
∵DP∥AB，
∴FP=PB，
∴CP=(1)/(2)AB=AE，
∴四边形ACPE为平行四边形；
（3） 垂直，
理由：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，
在△AME与△CNE中，

∠M=∠FNE=90°

∠EAM=∠NCE=45°

AE=CE

，
∴△AME≌△CNE，
∴∠ADE=∠CFE，
在△ADE与△CFE中，

∠ADE=∠CFE

∠DAE=∠FCE=135°

DE=EF

，
∴△ADE≌△CFE，
∴∠DEA=∠FEC，
∵∠DEA+∠DEC=90°，
∴∠CEF+∠DEC=90°，
∴∠DEF=90°，
∴ED⊥EF．