如图,已知四边形ABCD是正方形,对角如图,已知四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于O.（1）如图1,设E、F分别是AD、AB上的点,且∠EOF=90°,线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系,请你用等式直接

Question

如图,已知四边形ABCD是正方形,对角 如图,已知四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于O.
（1）如图1,设E、F分别是AD、AB上的点,且∠EOF=90°,线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系,请你用等式直接写出这个数量关系
（2）如图2,设E、F分别是AB上不同的两个点,且∠EOF=45°,请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系,并证明

Answer 1

1、AE²+BF²＝EF²
证明过程大致：△AOE≌△BOF,得出AE＝BF即可
2、AE²+BF²＝EF²
证明：在BC上取点G,使BG＝AE,连接OG、FG
∵正方形ABCD
∴AO＝BO,∠AOB＝∠ABC＝90,∠OAB＝∠OBA＝∠OBC＝45
∵AE＝BG
∴△AOE≌△BOG （SAS）
∴OG＝OE,∠BOG＝∠AOF
∵∠EOF＝45
∴∠AOE+∠BOF＝∠AOB-∠EOF＝45
∴∠GOF＝∠BOG+∠BOF＝∠AOE+∠BOF＝45
∴∠GOF＝∠EOF
∵OF＝OF
∴△EOF≌△GOF （SAS）
∴GF＝EF
∵∠ABC＝90
∴BG²+BF²＝GF²
∴AE²+BF²＝EF²