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如图,△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,四边形BCDE是平行四边形,E为AC中点,BD平分∠ABC,点F在AB上,且BF=BC.求证:(1)DF=AE;(2)DF⊥AC.
题目详情
如图,△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,四边形BCDE是平行四边形,E为AC中点,BD平分∠ABC,点F在AB上,且BF=BC.求证:
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(1)DF=AE;
(2)DF⊥AC.
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(1)DF=AE;
(2)DF⊥AC.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)延长DE交AB于点G,连接AD.
∵四边形BCDE是平行四边形,
∴ED∥BC,ED=BC.
∵点E是AC的中点,∠ABC=90°,
∴AG=BG,DG⊥AB.
∴AD=BD,
∴∠BAD=∠ABD.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠BAD=45°,即∠BDE=∠ADE=45°.
又BF=BC,
∴BF=DE.
∴在△AED与△DFB中,
,
∴△AED≌△DFB(SAS),
∴AE=DF,即DF=AE;
(2)设AC与FD交于点O.
∵由(1)知,△AED≌△DFB,
∴∠AED=∠DFB,
∴∠DEO=∠DFG.
∵∠DFG+∠FDG=90°,
∴∠DEO+∠EDO=90°,
∴∠EOD=90°,即DF⊥AC.
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∵四边形BCDE是平行四边形,
∴ED∥BC,ED=BC.
∵点E是AC的中点,∠ABC=90°,
∴AG=BG,DG⊥AB.
∴AD=BD,
∴∠BAD=∠ABD.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠BAD=45°,即∠BDE=∠ADE=45°.
又BF=BC,
∴BF=DE.
∴在△AED与△DFB中,
|
∴△AED≌△DFB(SAS),
∴AE=DF,即DF=AE;
(2)设AC与FD交于点O.
∵由(1)知,△AED≌△DFB,
∴∠AED=∠DFB,
∴∠DEO=∠DFG.
∵∠DFG+∠FDG=90°,
∴∠DEO+∠EDO=90°,
∴∠EOD=90°,即DF⊥AC.
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