A声称B否认C说D是说谎的,其中BCD说谎概率为1/3,那么A说谎的概率是多少?

Question

A声称B否认C说D是说谎的,其中BCD说谎概率为1/3,那么A说谎的概率是多少?

Answer 1

设d说实话的事件为D,c说d说的是实话的事件为C,b否认c说d说的是实话的事件为B,a说b否认c说d说的是实话的事件为A.
显然,当d说实话时,而c承认这一点的概率为1/3,而在d说假话的时候,c反而有1-1/3=2/3的概率说d说实话.
根据全概率公式,C成立的概率为：P(C)=P(C|D)P(D)+P(C~D)P(~D)=1/3*1/3+2/3*2/3=5/9
而当C成立时,D成立的概率为：P(D|C)=P(CD)/P(C)=P(C|D)P(D)/P(C)=(1/3*1/3)/(5/9)=1/5
即如果c说d说的是实话,那么d有1/5的概率说的是实话.
现在将推理方式扩展到整个题目：
当D成立时A成立的概率为：
P(A|D)=P(A|BCD)P(B|CD)P(C|D)+P(A|~BCD)P(~B|CD)P(C|D)+P(A|B~CD)P(B|~CD)P(~C|D)+P(A|~CD)P(~B|~CD)P(~C|D)=1/3*2/3*1/3+2/3*1/3*1/3+1/3*1/3*2/3+2/3*2/3*2/3=14/27
当D不成立时A成立的概率为：
P(A|~D)=P(A|BC~D)P(B|C~D)P(C|~D)+P(A|~BC~D)P(~B|C~D)P(C|~D)+P(A|B~D)P(B|~D)P(~C|~D)+P(A|~D)P(~B|~D)P(~C|~D)=1/3*2/3*2/3+2/3*1/3*2/3+1/3*1/3*1/3+2/3*2/3*1/3=13/27
而A发生的概率为：
P(A)=P(A|D)P(D)+P(A|~D)P(~D)=14/27*1/3+13/27*2/3=40/81
最后,当A发生时D的条件概率为：
P(D|A)=P(A|D)P(D)/P(A)=(14/27)*1/3/(40/81)=14/40
累死我了.