在分母小于15的最简分数中，求不等于25但与25最接近的那个分数．

Question

在分母小于15的最简分数中，求不等于(2)/(5)但与(2)/(5)最接近的那个分数．

Answer 1

设所求的最简分数是(m)/(n)，（m，n）=1，0＜m＜n，n＜15，
则|(m)/(n)-(2)/(5)|=(|5m−2n|)/(5n)，
∵(m)/(n)≠(2)/(5)，且m、n是正整数，
∴|5m-2n|≥1，
①当|5m-2n|=1时，
有5m-2n=1（(m)/(n)＞(2)/(5)）或5m-2n=-1（(m)/(n)＜(2)/(5)），
∴m=(2n+1)/(5)或m=(2n−1)/(5)，
由m为整数，知（2n+1）或（2n-1）是5的倍数，
要使|(m)/(n)-(2)/(5)|最小，则n应最大，
∴n最大取13，对应的m=5，
此时|(m)/(n)-(2)/(5)|=(1)/(65)；
②当|5m-2n|＞1时，
∵n＜15，m、n是整数，
∴|(m)/(n)-(2)/(5)|=(|5m−2n|)/(5n)≥(2)/(5×14)=(1)/(35)＞(1)/(65)；
综上可得：|(m)/(n)-(2)/(5)|的最小值是(1)/(65)，此时对应的m=5，n=13．
故(5)/(13)是不等于(2)/(5)但与

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