sin^2x-3cos^2x=sin2x

Question

sin^2x-3cos^2x=sin2x

Answer 1

sin²x-3cos²x=sin2x
sin²x-3cos²x=2sinxcosx
sin²x-2sinxcosx-3cos²x=0
(sinx+cosx)(sinx-3cosx)=0
sinx=cosx或sinx=3cosx
当sinx=cosx时
∵sin²x+cos²x=1
∴2sin²x=1
sin²x=1/2
sinx=±√2/2
当sinx=√2/2时,cosx=√2/2,x∈2kπ+π/4,k∈Z
当sinx=-√2/2时,cosx=-√2/2,x∈2kπ+5π/4,k∈Z
∴x∈kπ+π/4,k∈Z
当sinx=3cosx时
∵sin²x+cos²x=1
∴10sin²x=1
sin²x=1/10
sinx=±√10/10
当sinx=√10/10时,cosx=3√10/10,x∈2kπ+arcsin√10/10,k∈Z
当sinx=-√10/10时,cosx=-3√10/10,x∈2kπ+π+arcsin√10/10,k∈Z
∴x∈kπ+arcsin√10/10,k∈Z
∴x∈kπ+π/4,k∈Z或x∈kπ+arcsin√10/10,k∈Z