1.求证tanα/2=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα2.求下列函数的最小正周期,递增区间及最大值：（1）y=sin2xcos2x;(2)y=2cos（平方）x/2+1；3)y=根号3cos4x+sin4x.}

Question

1.求证tanα/2=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
2.求下列函数的最小正周期,递增区间及最大值：（1）y=sin2xcos2x;(2)y=2cos（平方）x/2+1；3) y=根号3 cos4x+sin4x.}

Answer 1

1.求证tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
tan(α/2)
=sin(α/2) / cos(α/2)
=sin²(α/2) / sin(α/2)cos(α/2)
=2sin²(α/2) / 2sin(α/2)cos(α/2)
=2sin²(α/2) / sinα 【正弦二倍角公式】
=[2-2cos²(α/2)] / sinα
=[1+1-2cos²(α/2)] / sinα
=(1-cosα) / sinα 【余弦二倍角公式】
=(1-cosα)(1+cosα) / sinα(1+cosα)
=sin²α / sinα(1+cosα)
=sinα / (1+cosα)
2.求下列函数的最小正周期,递增区间及最大值：
(1)y=sin2xcos2x
=(1/2)*2*sin2xcos2x
=(1/2)sin4x
最小正周期：2π/4=π/2
递增区间：[-π/8+kπ/2,π/8+kπ/2],k∈Z
最大值：1/2
(2)y=2cos²x/2+1
=2cos²x/2-1+2
=cosx+2
最小正周期：2π/1=2π
递增区间：[-π+2kπ,2kπ],k∈Z
最大值：3
(3)y=√3 cos4x+sin4x
=2 [(√3/2)cos4x+(1/2)sin4x]
=2 sin(4x+π/3)
最小正周期：2π/4=π/2
递增区间：[-5π/24+kπ/2,π/24+kπ/2],k∈Z
最大值：2