证明:sinπx≤π^2/2×x(1-x),其中x∈[0,1]

Question

证明:sinπx≤π^2/2×x(1-x),其中x∈[0,1]

Answer 1

这个证明简单.
当x=0和1时上述不等式等号成立.
当x∈(0,1)时.左右式子为正.故考虑：
sin(πx)/(πx(π-πx)),不妨令πx=t.t∈(0.π)
有sin(t)/(t(π-t)).
因sint,和1/(t(π-t))同时在(0,π/2)上递增,同时在(π/2,π)上递减,
故原函数在x=π/2处取最大值.有：
sin(t)/(t(π-t))