已知函数f（x）=3sinωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．P、Q分别是图象上的一个最高点和最低点，R为图象与x轴的交点，且四边形OQRP为矩形．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）将y=f（x）

Question

已知函数f（x）=√(3)sinωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．P、Q分别是图象上的一个最高点和最低点，R为图象与x轴的交点，且四边形OQRP为矩形．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）将y=f（x）的图象向右平移(1)/(2)个单位长度后，得到函数y=g（x）的图象．已知α∈((3)/(2)，(5)/(2))，g（α）=(√(3))/(3)，求f（α）的值．

Answer 1

（Ⅰ）设函数f（x）的最小正周期为T，则P（(T)/(4)，√(3)）、Q （(3T)/(4)，−√(3)），（2分）
∵四边形OQRP为矩形．∴OP⊥OQ，∴

.

OP

•

.

OQ

=(3)/(16)T²-3=0，∴T=4．           （5分）
∴ω=(2π)/(T)=(2π)/(4)=(π)/(2)，∴f（x）=√(3)sin(π)/(2)x．                                 （7分）
（Ⅱ）y=g（x）=f（x-(1)/(2)）=√(3)sin（(π)/(2)x-(π)/(4)），（8分）
∵g（α）=√(3)sin（(π)/(2)α-(π)/(4)）=(√(3))/(3)，∴sin（(π)/(2)α-(π)/(4)）=(1)/(3)．                          （10分）
又α∈((3)/(2)，(5)/(2))，∴(π)/(2)α-(π)/(4)∈（(π)/(2)，π），∴cos（(π)/(2)α-(π)/(4)）=-(2√(2))/(3)．               （12分）
∴f（α）=√(3)sin(π)/(2)α=√(3)sin[（(π)/(2)α-(π)/(4)）+(π)/(4)]=√(3)[sin（(π)/(2)α-(π)/(4)）cos(π)/(4)+cos（(π)/(2)α-(π)/(4)）sin(π)/(4)]
=√(3)[(1)/(3)×(√(2))/(2)+(−(2√(2))/(3))×(√(2))/(2)]=(√(6)−4√(3))/(6)．                                  （14分）