设an＝∫π40tannxdx：（1）求∞n＝11n(an+an+2)的值．（2）试证：对任意的常数λ＞0，级数∞n＝1annλ收敛．

Question

设an

＝∫

(π)/(4) 0

tannxdx：
（1）求

∞

n＝1

(1)/(n)(an+an+2)的值．
（2）试证：对任意的常数λ＞0，级数

∞

n＝1

(an)/(nλ)收敛．

Answer 1

（1）因为(an+an+2)/(n)=

∫(1)/(n)

(π)/(4) 0

tannx(1+tan2x)dx=

∫(1)/(n)

(π)/(4) 0

tannxsec2xdx
令tanx=t，则，上式=

(1)/(n)∫

1 0

tndt=(1)/(n(n+1))
又部分和数列
Sn＝

n

i＝1

(1)/(i)(ai+ai+2)=

n

i＝1

(1)/(i(i+1))=1−(1)/(n+1)
有

lim

n→∞

Sn＝1
因此

∞

n＝1

(1)/(n)(an+an+2)＝1
（2）证明：先估计a_n的值，因为
an＝

∫

(π)/(4) 0

tannxdx

＝∫

1 o

(tn)/(1+t2)dt

＜∫

1 0

tndt＝(1)/(n+1)
所以 (an)/(nλ)＜(1)/(nλ(n+1))＜(1)/(nλ+1)，
由λ+1＞1知

∞

n＝1

(1)/(nλ+1)收敛
从而

∞

n＝1

(an)/(nλ)也收敛，
故得证．