早教吧作业答案频道 -->数学-->
不定积分x^6/根号(1+x^2)等于多少
题目详情
不定积分x^6/根号(1+x^2)等于多少
▼优质解答
答案和解析
x⁶ = x⁴[(1 + x²) - 1] = x⁴(1 + x²) - x⁴
= x⁴(1 + x²) - x²[(1 + x²) - 1] = x⁴(1 + x²) - x²(1 + x²) + x²
∫ x⁶/√(1 + x²) dx
= ∫ [x⁴(1 + x²) - x²(1 + x²) + x²]/√(1 + x²) dx
= ∫ x⁴√(1 + x²) dx - ∫ x²√(1 + x²) dx + ∫ x²/√(1 + x²) dx
x = tanz,dx = sec²z dz
√(1 + x²) = √(1 + tan²z) = √sec²z = secz
= ∫ tan⁴zsec³z dz - ∫ tan²zsec³z dz + ∫ tan²zsecz dz
= ∫ (sec²z - 1)²sec³z dz - ∫ (sec²z - 1)sec³z dz + ∫ (sec²z - 1)secz dz
= ∫ (sec⁴z - 2sec²z + 1)sec³z dz - ∫ (sec²z - 1)sec³z dz + ∫ (sec²z - 1)secz dz
= ∫ (sec⁷z - 2sec⁵z + sec³z) dz - ∫ (sec⁵z - sec³z) dz + ∫ (sec³z - secz) dz
= ∫ (sec⁷z - 3sec⁵z + 3sec³z - secz) dz
由正割的归约公式:
∫ secⁿx dx = (secⁿ⁻²xtanx)/(n - 1) + [(n - 2)/(n - 1)]∫ secⁿ⁻²x dx
∫ sec³z dz
= (1/2)secztanz + (1/2)∫ secz dz
∫ sec⁵z dz
= (1/4)sec³ztanz + (3/4)∫ sec³z dz
= (1/4)sec³ztanz + (3/4)[(1/2)secztanz + (1/2)∫ secz dz]
= (1/4)sec³ztanz + (3/8)secztanz + (3/8)∫ secz dz
∫ sec⁷z dz
= (1/6)sec⁵ztanz + (5/6)∫ sec⁵z dz
= (1/6)sec⁵ztanz + (5/6)[(1/4)sec³ztanz + (3/8)secztanz + (3/8)∫ secz dz]
= (1/6)sec⁵ztanz + (5/24)sec³ztanz + (5/16)secztanz + (5/16)∫ secz dz
∴
∫ x⁶/√(1 + x²) dx
= ∫ (sec⁷z - 3sec⁵z + 3sec³z - secz) dz
= [(1/6)sec⁵ztanz + (5/24)sec³ztanz + (5/16)secztanz + (5/16)∫ secz dz]
- 3[(1/4)sec³ztanz + (3/8)secztanz + (3/8)∫ secz dz]
+ 3[(1/2)secztanz + (1/2)∫ secz dz]
- ∫ secz dz
= (1/6)sec⁵ztanz - (13/24)sec³ztanz + (11/16)secztanz - (5/16)∫ secz dz
= (1/6)sec⁵ztanz - (13/24)sec³ztanz + (11/16)secztanz - (5/16)ln|secz + tanz| + C
= (x/6)(1 + x²)^(5/2) - (13x/24)(1 + x²)^(3/2) + (11x/16)√(1 + x²) - (5/16)ln|x + √(1 + x²)| + C
= (x/48)(8x⁴ - 10x² + 15)√(1 + x²) - (5/16)ln|x + √(1 + x²)| + C
这题并不难,只是过程有点复杂,次数高啊.你好好看吧,
= x⁴(1 + x²) - x²[(1 + x²) - 1] = x⁴(1 + x²) - x²(1 + x²) + x²
∫ x⁶/√(1 + x²) dx
= ∫ [x⁴(1 + x²) - x²(1 + x²) + x²]/√(1 + x²) dx
= ∫ x⁴√(1 + x²) dx - ∫ x²√(1 + x²) dx + ∫ x²/√(1 + x²) dx
x = tanz,dx = sec²z dz
√(1 + x²) = √(1 + tan²z) = √sec²z = secz
= ∫ tan⁴zsec³z dz - ∫ tan²zsec³z dz + ∫ tan²zsecz dz
= ∫ (sec²z - 1)²sec³z dz - ∫ (sec²z - 1)sec³z dz + ∫ (sec²z - 1)secz dz
= ∫ (sec⁴z - 2sec²z + 1)sec³z dz - ∫ (sec²z - 1)sec³z dz + ∫ (sec²z - 1)secz dz
= ∫ (sec⁷z - 2sec⁵z + sec³z) dz - ∫ (sec⁵z - sec³z) dz + ∫ (sec³z - secz) dz
= ∫ (sec⁷z - 3sec⁵z + 3sec³z - secz) dz
由正割的归约公式:
∫ secⁿx dx = (secⁿ⁻²xtanx)/(n - 1) + [(n - 2)/(n - 1)]∫ secⁿ⁻²x dx
∫ sec³z dz
= (1/2)secztanz + (1/2)∫ secz dz
∫ sec⁵z dz
= (1/4)sec³ztanz + (3/4)∫ sec³z dz
= (1/4)sec³ztanz + (3/4)[(1/2)secztanz + (1/2)∫ secz dz]
= (1/4)sec³ztanz + (3/8)secztanz + (3/8)∫ secz dz
∫ sec⁷z dz
= (1/6)sec⁵ztanz + (5/6)∫ sec⁵z dz
= (1/6)sec⁵ztanz + (5/6)[(1/4)sec³ztanz + (3/8)secztanz + (3/8)∫ secz dz]
= (1/6)sec⁵ztanz + (5/24)sec³ztanz + (5/16)secztanz + (5/16)∫ secz dz
∴
∫ x⁶/√(1 + x²) dx
= ∫ (sec⁷z - 3sec⁵z + 3sec³z - secz) dz
= [(1/6)sec⁵ztanz + (5/24)sec³ztanz + (5/16)secztanz + (5/16)∫ secz dz]
- 3[(1/4)sec³ztanz + (3/8)secztanz + (3/8)∫ secz dz]
+ 3[(1/2)secztanz + (1/2)∫ secz dz]
- ∫ secz dz
= (1/6)sec⁵ztanz - (13/24)sec³ztanz + (11/16)secztanz - (5/16)∫ secz dz
= (1/6)sec⁵ztanz - (13/24)sec³ztanz + (11/16)secztanz - (5/16)ln|secz + tanz| + C
= (x/6)(1 + x²)^(5/2) - (13x/24)(1 + x²)^(3/2) + (11x/16)√(1 + x²) - (5/16)ln|x + √(1 + x²)| + C
= (x/48)(8x⁴ - 10x² + 15)√(1 + x²) - (5/16)ln|x + √(1 + x²)| + C
这题并不难,只是过程有点复杂,次数高啊.你好好看吧,
看了 不定积分x^6/根号(1+x...的网友还看了以下:
函数f(x)=(tan2x)/tanx的定义域我个人感觉是x属于R , 且x不等于kπ , 且 2020-04-05 …
问一下函数定义域的问题y=x^2/x=x的定义域是x不等于0,是不是函数的定义域只与它初始状态有关 2020-06-06 …
已知函数f(x)=1/x+1,则函数f[(fx)]的定义域(x)=1/(x+1)的定义域为X不等于 2020-06-21 …
复合函数数学题:设f(x)=(x²+1)/(x²-1),g(x)=1/(1+x),求f[g(x)] 2020-07-27 …
函数的下界定义中"大于等于"中的"等于"一定要成立吗?f(x)=1/x在x属于(0,1)中有下界, 2020-07-31 …
函数的下界定义中"大于等于"中的"等于"一定要成立吗?f(x)=1/x在x属于(0,1)中有下界, 2020-07-31 …
当定义域不为R时,一定不能用判别式法求值域吗???求y=(3x+2)/(x+1)的值域,定义域x不 2020-08-01 …
若一个命题结论为X等于1,可不可以理解为X一定等于1呢?那么它的否命题结论是不等于1还是不一... 2020-08-01 …
关于不等式不等式的解是否一定有无限多个数?不等式x的平方〈0的解集是什么?不等式x的绝对值小于等于 2020-08-03 …
数学-不定积分为什么不定积分表示∫f(x)dx,而不是∫f(x),∫(f(x)+△x)等等,即不定积 2020-11-01 …