x,y为非负实数,x^2+y^2=1,证明:根号5小于等于根号(1+x^4)+根号(1+y^4)小于等于1+根号2许多符号输不进去,凑和着看吧

Question

x,y为非负实数,x^2+y^2=1,证明:根号5小于等于根号(1+x^4)+根号(1+y^4)小于等于1+根号2
许多符号输不进去,凑和着看吧

Answer 1

本问题：u(x,y) = √(1+x^4) + √(1+y^4)
的最值出现在：x = y = √2 / 2 和 x = 0,y = 1 或 x = 1,y=0 处.
u(0,1) = u(1,0) = 1 + √2 对应 √(1+x^4) + √(1+y^4) 的最大值；
u(√2/2,√2/2) = √5 对应 √(1+x^4) + √(1+y^4) 的最小值；
因此
√5 < √(1+x^4) + √(1+y^4) < 1 + √2
还可以用基本不等式证明.
√√