早教吧 育儿知识 作业答案 考试题库 百科 知识分享

设P(x,y)是角θ的终边上任意一点,其中x≠0,y≠0,并记r=x2+y2.若定义cotθ=xy,secθ=rx,cscθ=ry.(Ⅰ)求证sin2θ+cos2θ-tan2θ-cot2θ+sec2θ+csc2θ是一个定值,并求出这个定值;(Ⅱ)求

题目详情
设P(x,y)是角θ的终边上任意一点,其中x≠0,y≠0,并记r=
x2+y2
.若定义cotθ=
x
y
secθ=
r
x
cscθ=
r
y

(Ⅰ)求证sin2θ+cos2θ-tan2θ-cot2θ+sec2θ+csc2θ是一个定值,并求出这个定值;
(Ⅱ)求函数f(θ)=|sinθ+cosθ+tanθ+cotθ+secθ+cscθ|的最小值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)sin2θ+cos2θ-tan2θ-cot2θ+sec2θ+csc2θ
=1−(
y
x
)2−(
x
y
)2+(
r
x
)2+(
r
y
)2
=1+1+1=3…(4分)
(Ⅱ)由条件,cotθ=
x
y
=tanθ,secθ=
1
cosx
cscθ=
1
sinθ

令g(θ)=sinθ+cosθ+tanθ+cotθ+secθ+cscθ=sinθ+cosθ+
sinθ
cosθ
+
cosθ
sinθ
+
1
cosθ
+
1
sinθ
=sinθ+cosθ+
1
sinθcosθ
+
sinθ+cosθ
sinθcosθ
…(6分)
令sinθ+cosθ=t,则t=sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)∈[−
2
2
],t≠±1,且sinθcosθ=
t2−1
2

从而g(θ)=y=t+
2
t2−1
+
2t
t2−1
=t+
2(t+1)
t2−1
=t+
2
t−1
=t−1+
2
t−1
+1,…(9分)
令u=t-1,则y=u+
2
u
+1,u∈[−
2
−1,
2
−1],且t≠0,t≠-2.
y∈(−∞,1−2
2
]∪[3
2
+2,+∞).
从而f(θ)=|y|≥2
2
−1,即f(θ)min=2
2
−1.          …(12分)