太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Glicsc581”运行的行星“Gl-581c”却很值得我们期待．该行星的温度在0℃到40℃之间，质量是地球的6倍，直径是地球的1.5倍．该行星与地球均可视

Question

太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Glicsc581”运行的行星“Gl-581c”却很值得我们期待．该行星的温度在0℃到40℃之间，质量是地球的6倍，直径是地球的1.5倍．该行星与地球均可视为质量分布均匀的球体．已知引力常量为G，在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的卫星的速度大小为v，地球半径为R．求：
（1）在行星“Gl-581c”表面附近绕行星“Gl-581c”做匀速圆周运动的卫星的速度大小；
（2）行星“Gl-581c”的密度．

Answer 1

（1）设地球、行星“Gl-581c”的质量分别为M_地、M_行，行星“Gl-581c”的半径为R′．
地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的卫星的质量为m，行星“Gl-581c”表面附近绕行星“Gl-581c”做匀速圆周运动的卫星的质量为m′，运行速度大小为v'．
根据牛顿第二定律和万有引力定律有：
G(M地m)/(R2)＝m(v2)/(R)；
G(M行m′)/(R′2)＝m′(v′2)/(R′)
由上两式解得：(v′)/(v)＝√((M行)/(M地)•(R)/(R′))＝(2)/(1)，
所以：v′=2v
（2）设行星“Gl-581c”的密度为ρ，
根据牛顿第二定律和万有引力定律有：G(M行m′)/(R′2)＝m′(v′2)/(R′)
行星“Gl-581c”的密度：ρ=(M行)/((4)/(3)πR′3)
将v'=2v和R'=1.5R代入，并联立以上方程解得：ρ=(4v2)/(3πR2G)
答：（1）在行星“Gl-581c”表面附近绕行星“Gl-581c”做匀速圆周运动的卫星的速度大小为2v；
（2）行星“Gl-581c”的密度为(4v2)/(3πR2G)．