设a>1,n为自然数,且n>1,求证：(n次根号下a)-1

Question

设a>1,n为自然数,且n>1,求证：(n次根号下a)-1

Answer 1

证明,
对于任意的x>0,都有(1+x)^n = 1 + n*x + ...+ x^n > 1 + nx
在n为大于1的自然数时,
可以推得1+x > n次根号下(1+nx)
即x > n次根号下(1+nx) - 1 ---(1)
因为a>1,所以a-1>0,又因为n>0,所以(a-1)/n > 0
取x = (a-1)/n带入(1)式,
即为
(a-1)/n > n次根号下a - 1