已知a,b,c属于R,求证：根号（a^2+b^2）+根号（b^2+c^2）+根号（c^2+a^2）>=（根号2）×(a+b+c)

Question

已知a,b,c属于R,求证：根号（a^2+b^2）+根号（b^2+c^2）+根号（c^2+a^2）>=（根号2） ×(a+b+c)

Answer 1

因为 a^2+b^2>= 2ab b^2+c^2>=2bc c^2+a^2>=2ac
所以 根号（a^2+b^2）>=根号2ab 一
根号b^2+c^2>=根号2bc 二
根号c^2+a^2>=根号2ac 三
一+二+三 可以得出 根号（a^2+b^2）+根号（b^2+c^2）+根号（c^2+a^2）>=根号2ab +根号2bc +根号2ac
又因为 a+b>=根号2ab b+c>=根号2bc a+c>=根号2ac
所以 根号2ab +根号2bc +根号2ac 小于等于（根号2） ×(a+b+c)
再根据 一个函数大于另一个函数 只要大于它得最大值
所以就可以得出 根号（a^2+b^2）+根号（b^2+c^2）+根号（c^2+a^2）>=（根号2） ×(a+b+c)