一道初二证明题已知：E是正方形ABCD的边长AD上一点,BF平分EBC,交CD于F,求证：BE=AE+CF.

Question

一道初二证明题
已知：E是正方形ABCD的边长AD上一点,BF平分EBC,交CD于F,求证：BE=AE+CF.

Answer 1

已知正方形ABCD中,E为AD上一点,BF平分∠EBC交DC于F,求证：BE＝AE＋CF．
解析 证AE＋CF＝BE,可以把AE与CF相接,证其与BE相等．
证明 延长EA到G,使AG＝CF,连结BG．
在正方形ABCD中,
AB＝BC,∠BAG＝∠C＝90°．
∴△GAB≌△FCB．
∴∠GBA＝∠FBC．
∠G＝∠BFC．
又∵AB‖CD．
∴∠BFC＝∠ABF＝∠EBA＋∠EBF．
又∵BF平分∠EBC,
∴∠EBF＝∠FBC．
∴∠GBA＝∠EBF．
∴∠G＝∠BFC＝∠EBA＋∠EBF
＝∠EBA＋∠GBA
＝∠EBG．
∴BE＝GE＝AG＋AE＝CF＋AE．