用定积分能不能求圆面积的准确值（不带圆周率）?我记得有一个函数y=√1-x²,它的图像是一个半圆,那么如果求其定积分,岂不是能求出这个半圆的准确面积?我试过,但导数是√1-x²的函

Question

用定积分能不能求圆面积的准确值（不带圆周率）?
我记得有一个函数y=√1-x² ,它的图像是一个半圆,那么如果求其定积分,岂不是能求出这个半圆的准确面积?
我试过,但导数是√1-x²的函数不会构造

Answer 1

可以求出第一象限内即四分之一个单位圆的面积,结果然后乘以 4 即可求出圆的面积,圆周率是无法避免的.
(0,1)∫√(1-x²)dx （令 x=sint 进行变量替换）
=(0,π/2)∫√(1-sin²t)dsint
=(0,π/2)∫cost costdt
=(0,π/2)∫(1+cos2t)/2 dt
=(0.5t + 0.25sin2t) | (0,π/2)
=π/4
S = 4 x π/4 = π