已知函数f（x）∈{x-1，log2|x|，x12}，且f（x）为偶函数．（1）确定函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=m•2f（x）+x2（m∈R）．①若函数g（x）在区间（-∞，-2）上是减函数，求实数m的取

Question

已知函数f（x）∈{x^-1，log₂|x|，x (1)/(2)}，且f（x）为偶函数．
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=m•2^f（x）+x²（m∈R）．
①若函数g（x）在区间（-∞，-2）上是减函数，求实数m的取值范围；
②当m>(1)/(4)时，证明：g（x）>(1)/(4)x+(1)/(x)在x∈[1，2]上恒成立．

Answer 1

（1）若f（x）=x^-1，则f（-x）=（-x）^-1=-x^-1=-f（x），所以f（x）为奇函数，不合题意；
若f(x)=x(1)/(2)，则f（x）的定义域为[0，+∞），所以f（x）即不是奇函数，也不是偶函数，不合题意；
若f（x）=log₂|x|，则f（-x）=log₂|-x|=log₂|x|=f（x），所以f（x）为偶函数，符合题意，
综上可知，函数f（x）=log₂|x|．
（2）g(x)=m•2log2|x|+x2．
①因为x∈（-∞，-2）时，g（x）=x²-mx．
所以，当m≥0时，g（x）在（-∞，-2）上单调递减，符合题意；
当m<0时，要使得g（x）在（-∞，-2）上单调递减，须且只须(m)/(2)≥-2，
即m≥-4，所以-4≤m≤0．
综上所述，所求m的取值范围是[-4，+∞）．
②当x∈[1，2]时，g（x）=x²+mx．
所以g(x)>(1)/(4)x+(1)/(x)⇔x2+mx>(1)/(4)x+(1)/(x)⇔(m-(1)/(4))x2-1>-x3．
令F（x）=（m-(1)/(4)）x²-1（1≤x≤2），G（x）=-x³（1≤x≤2）．
因为m>(1)/(4)，所以函数F（x）在区间[1，2]上单调递增，
所以F（x）_min=F（1）=m-(5)/(4)>(1)/(4)-(5)/(4)=-1，所以F（x）>-1，
又因为函数G（x）在区间[1，2]上单调递减，
所以G（x）_max=G（1）=-1，所以G（x）≤-1，
所以F（x）>G（x），
所以G（x）>(1)/(4)x+(1)/(x)在x∈[1，2]上恒成立．