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x+yy'=x(x^2+y^2)用适当的变量代换求解方程的解
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x+yy'=x(x^2+y^2)用适当的变量代换求解方程的解
▼优质解答
答案和解析
令y=xu
则y'=u+xu'
代入原方程：x+xu(u+xu')=x(x²+x²u²)
1+u²+xuu'=x²(1+u²)
xuu'=(1+u²)(x²-1)
u/(1+u²) du=(x²-1)/xdx
d(u²)/(1+u²)=(2x-2/x)dx
积分：ln(1+u²)=x²-2ln|x|+C1
得：ln(1+y²/x²)=x²-lnx²+C1
化简：ln(x²+y²)=x²+C1
即x²+y²=Ce^(x²)
则y'=u+xu'
代入原方程：x+xu(u+xu')=x(x²+x²u²)
1+u²+xuu'=x²(1+u²)
xuu'=(1+u²)(x²-1)
u/(1+u²) du=(x²-1)/xdx
d(u²)/(1+u²)=(2x-2/x)dx
积分：ln(1+u²)=x²-2ln|x|+C1
得：ln(1+y²/x²)=x²-lnx²+C1
化简：ln(x²+y²)=x²+C1
即x²+y²=Ce^(x²)
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