在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM.若侧棱SA＝23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是（）A.12πB.32πC.36πD.48π

Question

在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM.若侧棱SA＝2√(3)，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是
（　　）
A. 12π
B. 32π
C. 36π
D. 48π

Answer 1

∵三棱锥S-ABC正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC
又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球
∴2R=2√(3)•√(3)，∴R=3，∴S=4πR²=4π•（3）²=36π，
故选C．