求证明δ(at)=1/|a|δ(t)证明冲击函数δ(at)=1/a的绝对值δ(t)

Question

求证明 δ(at)=1/|a|δ(t)
证明冲击函数δ(at)=1/a的绝对值δ(t)

Answer 1

证明主要考察δ(at)与δ(t)/|a|的作用,即和其他函数f(t)共同作用的结果
注意到a≠0,且δ(t)*f(t)=δ(t)*f(0),即δ(t)只在t=0有值
当a>0时,∫{-∞,+∞}δ(at)*f(t)dt=1/a*∫{-∞,+∞}δ(u)*f(u/a)du 令u=a*t,则t=u/a
=1/a*∫{-∞,+∞}δ(u)*f(0)du
=∫{-∞,+∞}[δ(t)/a]*f(t)dt 将u换成t,f(0)换成f(t)
此时,δ(at)=δ(t)/a
当a