证明f(x)=(1+1/x)^x在0到正无穷上单调增加

Question

证明f(x)=(1+1/x)^x在0到正无穷上单调增加

Answer 1

f(x)=(1+1/x)^x
两边取对数
lny=xln(1+1/x)
取导数得：y'/y=ln(1+1/x)+x*[(-1/x^2)*1/(1+1/x)]
所以y'=y*{ln(1+1/x)+x*[(-1/x^2)*1/(1+1/x)]}
显然当x>0时候y>0,且容易判断同时{ln(1+1/x)+x*[(-1/x^2)*1/(1+1/x)]}>0
所以恒有y'>0 所以在0到正无穷上单调增加