证明曲线y=(x+1)/(x^2+1)有位于同一直线上的三个拐点.

Question

证明曲线y=(x+1)/(x^2+1)有位于同一直线上的三个拐点.

Answer 1

先求出y=(x+1)/(x^2+1)的三个拐点,在证明它们共线即可.
对y=(x+1)/(x^2+1)分别求一次导数,二次导数,再令他们等于0就可以求出三个拐点.
显然,y'=(1-2x)/(x^2+1)^2=0 因此x1=1/2对应的y1=6/5
y''=[-2*(x^2+1)^2-(1-2x)*2(x^2+1)*2x]/(x^2+1)^4=0
解出x2=1,x3=-1/3,对应的y2=1,y3=3/5
然后,证明A(1/2,6/5),B(1,1),C(-1/3,3/5)三点共线,显然只要证明直线AB的斜率等于直线BC的斜率即可.