怎样证明x+y+z=2在一个平面上?

Question

怎样证明x+y+z=2在一个平面上?

Answer 1

空间坐标系中,这样的方程本身就表示一个平面.
如果不理解的话,可以这样.
任选方程x+y+z=2的三组解A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)
但要求(x2-x1)/(x3-x1)≠(y2-y1)/(y3-y1)≠(z2-z1)/(z3-z1)
两个不等号要求至少有一个成立.
这三组解在平面上可以看做三个点.也可以看做三个向量.
然后计算向量AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1),AC=(x3-x1,y3-y1,z3-z1)
(两个向量在这里都没有带有向量符号,书写的时候注意一下即可.)
这样以AB,AC为基的所有向量mAB+nAC(mn≠0)可以表达为
(m(x2-x1)+n(x3-x1),m(y2-y1)+n(y3-y1),m(z2-z1)+n(z3-z1))
显然,该向量对应的点也是方程x+y+z=2的一个解.
从而证明,平面上的一个点对应着方程的一个解,而方程的一个解也对应着平面上的一个点.
即类似x+y+z-2=0这样的方程表示三维空间中的一个平面.