假设f（x）为[0，1]上单调递减的正值连续函数，试证明：∫10f2（x）dx∫10xf（x）dx≥∫10xf2（x）dx∫10f（x）dx．

Question

假设f（x）为[0，1]上单调递减的正值连续函数，试证明：

∫

1 0

f²（x）dx

∫

1 0

xf（x）dx≥

∫

1 0

xf²（x）dx

∫

1 0

f（x）dx．

Answer 1

由于定积分与积分变量的选取无关，原不等式可以写成

∫

1 0

f2(x)dx

∫

1 0

yf(y)dy≥

∫

1 0

xf2(x)dx

∫

1 0

f(y)dy．
将

∫

1 0

f2(x)dx

∫

1 0

yf(y)dy写成二重积分

∫∫

D

f2(x)yf(y)dxdy，其中D：0≤x≤1，0≤y≤1；
类似地，将

∫

1 0

xf2(x)dx

∫

1 0

f(y)dy写成二重积分

∫∫

D

xf2(x)f(y)dxdy，其中D：0≤x≤1，0≤y≤1．
则证明原不等式等价于证明

∫∫

D

f2(x)yf(y)dxdy≥

∫∫

D

xf2(x)f(y)dxdy．
也即

∫∫

D

(y−x)f(y)f2(x)dxdy≥0．
由轮换对称性可得

∫∫

D

(y−x)f(y)f2(x)dxdy＝

∫∫

D

(x−y)f(x)f2(y)dxdy
=(1)/(2)

∫∫

D

(x−y)[f(y)−f(x)]f(x)f(y)dxdy
由于f（x）为[0，1]上单调递减的正值连续函数，可知x-y与f（y）-f（x）同号，故
（x-y）[f（y）-f（x）]≥0．
因此

∫∫

D

(y−x)f(y)f2(x)dxdy≥0．
也即

∫

1 0

f2(x)dx

∫

1 0

xf(x)dx≥

∫

1 0

xf2(x)dx

∫

1 0

f(x)dx．