早教吧作业答案频道 -->其他-->
假设f(x)为[0,1]上单调递减的正值连续函数,试证明:∫10f2(x)dx∫10xf(x)dx≥∫10xf2(x)dx∫10f(x)dx.
题目详情
假设f(x)为[0,1]上单调递减的正值连续函数,试证明:
f2(x)dx
xf(x)dx≥
xf2(x)dx
f(x)dx.
∫ | 1 0 |
∫ | 1 0 |
∫ | 1 0 |
∫ | 1 0 |
▼优质解答
答案和解析
由于定积分与积分变量的选取无关,原不等式可以写成
f2(x)dx
yf(y)dy≥
xf2(x)dx
f(y)dy.
将
f2(x)dx
yf(y)dy写成二重积分
f2(x)yf(y)dxdy,其中D:0≤x≤1,0≤y≤1;
类似地,将
xf2(x)dx
f(y)dy写成二重积分
xf2(x)f(y)dxdy,其中D:0≤x≤1,0≤y≤1.
则证明原不等式等价于证明
f2(x)yf(y)dxdy≥
xf2(x)f(y)dxdy.
也即
(y−x)f(y)f2(x)dxdy≥0.
由轮换对称性可得
(y−x)f(y)f2(x)dxdy=
(x−y)f(x)f2(y)dxdy
=
(x−y)[f(y)−f(x)]f(x)f(y)dxdy
由于f(x)为[0,1]上单调递减的正值连续函数,可知x-y与f(y)-f(x)同号,故
(x-y)[f(y)-f(x)]≥0.
因此
(y−x)f(y)f2(x)dxdy≥0.
也即
f2(x)dx
xf(x)dx≥
xf2(x)dx
f(x)dx.
∫ | 1 0 |
∫ | 1 0 |
∫ | 1 0 |
∫ | 1 0 |
将
∫ | 1 0 |
∫ | 1 0 |
∫∫ |
D |
类似地,将
∫ | 1 0 |
∫ | 1 0 |
∫∫ |
D |
则证明原不等式等价于证明
∫∫ |
D |
∫∫ |
D |
也即
∫∫ |
D |
由轮换对称性可得
∫∫ |
D |
∫∫ |
D |
=
1 |
2 |
∫∫ |
D |
由于f(x)为[0,1]上单调递减的正值连续函数,可知x-y与f(y)-f(x)同号,故
(x-y)[f(y)-f(x)]≥0.
因此
∫∫ |
D |
也即
∫ | 1 0 |
∫ | 1 0 |
∫ | 1 0 |
∫ | 1 0 |
看了 假设f(x)为[0,1]上单...的网友还看了以下:
设函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7 2020-05-13 …
极限中未知字母值怎么求?已知f(x)=(ax^3+bx^2+cx+d)/(x^2+x-2)试确定a 2020-05-14 …
已知a/b=c/d=e/f=2,当b+d≠0时,a+c/b+d=;当b+d+f≠0时,a+c+e/ 2020-05-14 …
已知A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2),试证明四边形ABCD是梯形.已知:ta 2020-05-15 …
f(x)在(a,b)可导,c∈(a,b),当x≠c时f"(x)>0,f"(c)=0,试证y如题,f 2020-05-16 …
迈克耳逊干涉仪的调整和使用1.测He-Ne激光波长时,要求N尽可能大,这是为什么?2.使M1和M2 2020-06-12 …
1、讨论y=cosx√sin²x在x=0处的连续性与可导性问题2、y=x³cos2x求y(20)3 2020-07-18 …
急一道数学题已知a/b=c/d=e/f=m/n(b+d+f+...+n≠0)(1)试说明:a+c+e 2020-11-01 …
求助一道数学题~设f(x)在〔0,1〕上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,a、 2020-12-28 …
关于函数……已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x,∈R,均有f(x+x~)=f(x)+f(x~ 2020-12-31 …