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假设f（x）为[0，1]上单调递减的正值连续函数，试证明：∫10f2（x）dx∫10xf（x）dx≥∫10xf2（x）dx∫10f（x）dx．
题目详情
假设f（x）为[0，1]上单调递减的正值连续函数，试证明：
f2（x）dx
xf（x）dx≥
xf2（x）dx
f（x）dx．
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▼优质解答
答案和解析
由于定积分与积分变量的选取无关，原不等式可以写成
f2(x)dx
yf(y)dy≥
xf2(x)dx
f(y)dy．
将
f2(x)dx
yf(y)dy写成二重积分
f2(x)yf(y)dxdy，其中D：0≤x≤1，0≤y≤1；
类似地，将
xf2(x)dx
f(y)dy写成二重积分
xf2(x)f(y)dxdy，其中D：0≤x≤1，0≤y≤1．
则证明原不等式等价于证明
f2(x)yf(y)dxdy≥
xf2(x)f(y)dxdy．
也即
(y−x)f(y)f2(x)dxdy≥0．
由轮换对称性可得
(y−x)f(y)f2(x)dxdy＝
(x−y)f(x)f2(y)dxdy
=
(x−y)[f(y)−f(x)]f(x)f(y)dxdy
由于f（x）为[0，1]上单调递减的正值连续函数，可知x-y与f（y）-f（x）同号，故
（x-y）[f（y）-f（x）]≥0．
因此
(y−x)f(y)f2(x)dxdy≥0．
也即
f2(x)dx
xf(x)dx≥
xf2(x)dx
f(x)dx．
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将
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| D |
类似地，将
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| D |
则证明原不等式等价于证明
| ∫∫ |
| D |
| ∫∫ |
| D |
也即
| ∫∫ |
| D |
由轮换对称性可得
| ∫∫ |
| D |
| ∫∫ |
| D |
=
| 1 |
| 2 |
| ∫∫ |
| D |
由于f（x）为[0，1]上单调递减的正值连续函数，可知x-y与f（y）-f（x）同号，故
（x-y）[f（y）-f（x）]≥0．
因此
| ∫∫ |
| D |
也即
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