设曲线L是逆时针方向圆周（x-a）2+（y-a）2=1，φ（x）是连续的正函数，证明：Lxdyφ(y)-yφ（x）dx≥2π．

Question

设曲线L是逆时针方向圆周（x-a）²+（y-a）²=1，φ（x）是连续的正函数，证明：

L

(xdy)/(φ(y))-yφ（x）dx≥2π．

Answer 1

证明：
由Green公式

L

(xdy)/(φ(y))-yφ(x)dx=

∬

D

{φ(x)+(1)/(φ(y))}dxdy
其中D为圆周（x-a）²+（y-a）²=1所围区域又知：D关于y=x对称，
故

∬

D

{φ(x)+(1)/(φ(y))}dxdy=

∬

D

{φ(x)+(1)/(φ(x))}dxdy≥2

∬

D

dxdy=2π
即

L

(xdy)/(φ(y))-yφ(x)dx≥2π．