设当x→x0时,α,β均为无穷小,且β不等于0,证明：β的充分必要条件是α-β=o（β）

Question

设当x→x0时,α,β均为无穷小,且β不等于0,证明：β的充分必要条件是α-β=o（β）

Answer 1

用a,b表示
因为a等价b
lim （a-b）/b
=lima/b -1
=1-1
=0
所以
a-b是b的高阶无穷小,即
a-b=0(b)
a=b+0(b)
必要性
因为
α-β=o（β）
lim （a-b）/b=0
即
lima/b -limb/b=0
lima/b=1
即
a等价于b