limx趋近于正无穷大[(x^2-x+1)^1/2-ax-b)]=0、求a,b

Question

limx趋近于正无穷大[(x^2-x+1)^1/2-ax-b)]=0、求a,b

Answer 1

∵lim[(x^2-x+1)^1/2-ax-b]=0
x→+∞
∴lim[(x^2-x+1)^1/2-ax]=b
此处得到隐含条件a>0,否则不会有极限,式不成立
左式进行分子有理化,即分子分母分别乘以[(x^2-x+1)^1/2+ax],得到
lim[(x^2-x+1)^1/2-ax][(x^2-x+1)^1/2+ax]/[(x^2-x+1)^1/2+ax]=b
∴lim[(1-a^2)x^2-x+1]/[(x^2-x+1)^1/2+ax]=b
分子分母分别除x,得到
lim[(1-a^2)x-1+1/x]/[(1-1/x+1/x^2)^1/2+a]=b
显然,1-a^2=0,a=1(舍去a=-1,原因见上述隐含条件)
将a=1代入,得到b=-1/2
此题得解