(cos(x))^x-1的等阶无穷小是啥啊?

Question

(cos(x))^x-1的等阶无穷小是啥啊?

Answer 1

(cos(x))^x-1=e^(xln cosx)-1-->0,当x-->0时
于是假设x^a是(cos(x))^x-1的等阶无穷小,则只需验证
lim [(cos(x))^x-1]/(x^b)=c（非零常数）
利用洛比达法则可知
[(cos(x))^x-1]‘=[e^(xln cosx)-1]'=xln(cosx)[lncosx-xtanx]
上式中xln(cosx)-->1,所以只需对[lncosx-xtanx]继续求导得
[lncosx-xtanx]'=-2tanx-x(secx)²-->0
继续求导
[lncosx-xtanx]''=-3(secx)²-2xtanx(secx)²-->-3
综上,对(cos(x))^x-1求了三阶导数以后极限趋于-3,所以只需分母求了三阶导数以后是个非零常数即可,因此可知b=3,即(cos(x))^x-1的等阶无穷小是x³
如果要求的是等价无穷小,只需lim [(cos(x))^x-1]/(x^b)=1,同理可求出结果.本题的关键点是利用洛必达法则的一个条件,就是要求极限的式子一定要是待定型,本题属于0/0型,如果求导到某一步极限非零了（不是待定型）,那么就不能用洛比达法则了.