已知复数z,且z的绝对值=2,求绝对值z-i的最大值,以及取得最大值时的z

Question

已知复数z,且z的绝对值=2,求绝对值z-i的最大值,以及取得最大值时的z

Answer 1

设z=a+bi (a、b 均为实数）,那么z-i=a+(b-1)i
因为|z|=2,即|a+bi|=√（a²+b²）=2
a²+b²=4
b²=4-a²
因为a、b是实数,所以 a²≥0
b²≤4
-2≤b≤2
|z-i|=|a+(b-1)i|=√[a²+(b-1)²]=√[a²+(b²-2b+1)]=√(a²+b²-2b+1)=√(4-2b+1)=√(5-2b)
所以,b取最小值时,|z-i|有最大值.
因为当a=0时,b的最小值是-2
所以,|z-i|的最大值是√(5-2b)=√[5-2×(-2)]=√(5+4)=√9=3
此时,z=a+bi=0-2i=-2i