求函数f（x，y，z）=lnx+lny+3lnz在球面x2+y2+z2=5r2（x＞0，y＞0，z＞0）上的最大值，并证明对任何正数a，b，c成立不等式abc3≤27（a+b+c5）5．

Question

求函数f（x，y，z）=lnx+lny+3lnz在球面x²+y²+z²=5r²（x＞0，y＞0，z＞0）上的最大值，并证明对任何正数a，b，c成立不等式abc³≤27（(a+b+c)/(5)）⁵．

Answer 1

证明：作拉格朗日函数：L（x，y，z）=lnx+lny+3lnz-λ（x²+y²+z²-5r²），
得驻点  （r，r，√(3)r），实际问题知函数在球面上必存在最大值，
fmax＝f(r，r，√(3)r)＝ln(3√(3)r5)．
既有lnx+lny+3lnz≤ln(3√(3)r5)，
脱去对数符号，xyz3≤3√(3)((x2+y2+z2)/(5))(5)/(2)，
两边平方，(xyz3)2≤27((x2+y2+z2)/(5))5，
故abc3≤27((a+b+c)/(5))5．