设z=z（x，y）是由方程f（x-z，y-z）=0所确定的隐函数，其中f（u，v）具有连续的偏导数且?f?u+?f?v≠0，�设z=z（x，y）是由方程f（x-z，y-z）=0所确定的隐函数，其中f（u，v）具有连续的偏导数

Question

设z=z（x，y）是由方程f（x-z，y-z）=0所确定的隐函数，其中f（u，v）具有连续的偏导数且?f?u+?f?v≠0，�
设z=z（x，y）是由方程f（x-z，y-z）=0所确定的隐函数，其中f（u，v）具有连续的偏导数且(?f)/(?u)+(?f)/(?v)≠0，求(?z)/(?x)+(?z)/(?y)的值．

Answer 1

设u=x-z，v=y-z，则f（u，v）=0
∴两边对x求偏导，得
(?f)/(?u)?(?u)/(?x)+(?f)/(?v)?(?v)/(?x)＝0，即(?f)/(?u)?(1?(?z)/(?x))+(?f)/(?v)?(?(?z)/(?x))＝0
∴(?z)/(?x)＝((?f)/(?u))/((?f)/(?u)+(?f)/(?v))
同理，两边对y求偏导，得
(?f)/(?u)?(?u)/(?y)+(?f)/(?v)?(?v)/(?y)＝0，即(?f)/(?u)?(?(?z)/(?y))+(?f)/(?v)?(1?(?z)/(?y))＝0
∴(?z)/(?y)＝((?f)/(?v))/((?f)/(?u)+(?f)/(?v))
∴(?z)/(?x)+(?z)/(?y)=1