已知f（x）=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0，1]内有最大值-5，求a的值及函数表达式f（x）．

Question

已知f（x）=-4x²+4ax-4a-a²在区间[0，1]内有最大值-5，求a的值及函数表达式f（x）．

Answer 1

解∵f（x）=-4(x−(a)/(2))2-4a，此抛物线顶点为((a)/(2)，−4a)．
当(a)/(2)≥1，即a≥2时，f（x）取最大值-4-a²．令-4-a²=-5，得a²=1，a=±1＜2（舍去）．
当0＜(a)/(2)＜1，即0＜a＜2时，x=(a)/(2)时，f（x）取最大值为-4a，令-4a=-5，得a=(5)/(4)∈（0，2）．
当(a)/(2)≤0，即a≤0时，f（x）在[0，1]内递减，∴x=0时，f（x）取最大值为-4a-a²，
令-4a-a²=-5，得a2+4a²-5=0，解得a=-5，或a=1，其中-5∈（-∞，0]．
综上所述，a=(5)/(4)或a=-5时，f（x）在[0，1]内有最大值-5．
∴f（x）=-4x²+5x-(25)/(16)或f（x）=-4x²-20x-5．