积分第一中值定理的推广f（x）g（x）在a,b连续.g（x）不变号,求证：存在一点e∈a,b使∫（a→b）f（x)g(x)=f(e)∫（a→b）g（x）.注意：不是要证第一中值定理,g（x）没有说可积,而是连

Question

积分第一中值定理的推广
f（x）g（x）在【a,b】连续.g（x）不变号,求证：存在一点e∈【a,b】使∫（a→b）f（x)g(x)=f(e)∫（a→b）g（x）.
注意：不是要证第一中值定理,g（x）没有说可积,而是连续

Answer 1

设g(x)>0
m≤f(x)≤M mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x) ∫(a,b)
∫(a,b)mg(x)≤ ∫(a,b)f(x)g(x)≤ ∫(a,b)Mg(x)
m≤ ∫(a,b)f(x)g(x)/ ∫(a,b)g(x)≤ M
存在e使： ∫(a,b)f(x)g(x)/ ∫(a,b)g(x)=f(e)
∫(a,b)f(x)g(x)=f(e) ∫(a,b)g(x)
g(x)