已知函数f（x）=-x3+ax2+bx在区间（-2，1）内，当x=-1时取得极小值，当x=23时取得极大值．（1）求函数y=f（x）在x=-2时的对应点的切线方程．（2）求函数f（x）在[-2，1]上的最大值与最小值．

Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx在区间（-2，1）内，当x=-1时取得极小值，当x=(2)/(3)时取得极大值．
（1）求函数y=f（x）在x=-2时的对应点的切线方程．
（2）求函数f（x）在[-2，1]上的最大值与最小值．

Answer 1

（1）∵f（x）=-x³+ax²+bx，∴f′（x）=-3x²+2ax+b（2分），
∵函数f（x）=-x³+ax²+bx在x=-1处取得极小值，在x=(2)/(3)处取得极大值，
∴f′（-1）=0，f′（(2)/(3)）=0（6分），
∴-3（-1）²+2a×（-1）+b=0，
-3×((2)/(3))2+2a•(2)/(3)+b=0，
联立求解得a=-(1)/(2)，b=2，
∴f（x）=-x³-(1)/(2)x²+2x，
∴f（-2）=2，f′（-2）=-8，
∴切线方程为：8x+y+14=0．
（2）（Ⅱ） 由（Ⅰ）知：f（x）=-x³-(1)/(2)x²+2x，
当x∈[-2，1]时，f（x）在[-2，-1）递减，在（-1，(2)/(3)）递增，在（(2)/(3)，1]递减，
∴f（x）_极小值=f（-1）=-(3)/(2)，f（x）_极大值=f（(2)/(3)）=(22)/(27)，
又f（-2）=2，f（1）=(1)/(2)，
∴f（x）_max=2，f（x）_min=-(3)/(2)．