求函数f（x，y）=x2+2y2-x2y2在区域D={（x，y）|x2+y2≤4，y≥0}上的最大值和最小值．

Question

求函数f（x，y）=x²+2y²-x²y²在区域D={（x，y）|x²+y²≤4，y≥0}上的最大值和最小值．

Answer 1

（I）首先我们讨论开区域内的极值
∵f（x，y）=x²+2y²-x²y²
∴f′x(x，y)＝2x−2xy2，f′y(x，y)＝4y−2x2y
令f′_x（x，y）=f′_y（x，y）=0
解得：
x＝±√(2)，y＝1（舍掉y=-1的情形）
即开区域内可疑的极值点是：(±√(2)，1)
其对应函数值为f(±√(2)，1)＝2
（II）下面我们来讨论区域边界上的极值情况，区域D的边界为：y=0以及x²+y²=4（-2≤x≤2，y≥0）
①y=0时，f（x，y）=x²在-2≤x≤2上的最大值是4，最小值为0
②x²+y²=4（-2≤x≤2，y≥0）时，根据拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数
F（x，y，λ）=x²+2y²-x²y²+λ（x²+y²-4）
其中λ为参数
则
F′x＝2x−2xy2+2λx
F′y＝4y−2x2y+2λy
令F′_x=F′_y=0，且条件x²+y²=4
解得可能极值点：
(0，2)，(±√((5)/(2))，√((3)/(2)))，
且f(0，2)＝8，f(±√((5)/(2))，

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