质量为m的圆形糟，内外半径几乎同为R，槽内A、B两处分别放有质量同为m的小球，AB间的距离为槽的直径．不计一切摩擦，现将系统置于光滑水平面上，开始系统静止，现令两球同时具有垂直

Question

质量为m的圆形糟，内外半径几乎同为R，槽内A、B两处分别放有质量同为m的小球，AB间的距离为槽的直径．不计一切摩擦，现将系统置于光滑水平面上，开始系统静止，现令两球同时具有垂直AB向右的速度v，试求此后两球第一次相距为R时，槽圆心运动的速度．

Answer 1

在水平面参考系中建立水平方向的x轴和y轴．由系统的对称性可知中心或者说槽整体将仅在x轴方向上
运动．设槽中心沿x轴正方向运动的速度变为v₀，两小球相对槽心做角速度大小为 的圆周运动，A球处于如图

所示的位置时，相对水平面的两个分速度为：v_x=ωRsinθ+v₀    ①
                                    v_y=-ωRcosθ        ②
B球的运动与A球的运动是对称的．
因系统在x轴方向上动量守恒、机械能也守恒，因此
                         mv₀+2mv_x=2mv          ③
                         2×(1)/(2)m(

v

2 x

+

v

2 y

)+(1)/(2)mv2=2×(1)/(2)mv2     ④
将①、②式代入③、④式得：3v₀=2v-2ωRsinθ  
                         ω2R2+2ωRv0sinθ+

v

2 0

+(1)/(2)

v

2 0

=v2
由此解得：v0=(2)/(3)(1-(sinθ)/(√(3-2sin2θ)))v
当两球间距离为R时，代入可解得槽中心运动的速度为：v₀=(2)/(3)(1-(1)/(√(10)))v
答：槽圆心运动的速度为(2)/(3)(1-(1)/(√(10)))v