三根重均为G、长均为a的相同均匀木杆（其直径d≪a）如图对称地靠在一起，三木杆底端间均相距a，求：（1）A杆顶端所受作用力的大小和方向，（2）若有一重为G的人坐在A杆中点处，则A杆

Question

三根重均为G、长均为a的相同均匀木杆（其直径d≪a）如图对称地靠在一起，三木杆底端间均相距a，求：
（1）A杆顶端所受作用力的大小和方向，
（2）若有一重为G的人坐在A杆中点处，则A杆顶端所受作用力的大小和方向又如何？

Answer 1

三木杆组成一个正四面体，已知正四面体边长a，高三木杆h=(√(6))/(3)a，
设杆与底面的夹角β，则cosβ=(√(3))/(3)，sinβ=(√(6))/(3)，
设BC的中垂线与底面的夹角是α，则sinα=(2√(2))/(3)，cosα=(1)/(3)．
（1）以A杆为研究对象，A杆受力如图一所示．
A杆与地面的接触点为支点，杆所受重力G的力臂L_重=(α)/(2)cosβ=(√(3))/(6)a，
杆顶端所受力F的力臂，L_F=asinβ=(√(6))/(3)a，由杠杆平衡条件，
得：GL_重=FL_F，即：G×(√(3))/(6)a=F×(√(6))/(3)a，F=(√(2))/(4)G，方向水平向左．
（2）以A杆为研究对象，受力如图所示．由于人处于静止状态，
所以人对杆的压力F_压力摩擦力f'大小等于人的重力G，方向竖直向下，
人对杆的作用力力臂L_人=(α)/(2)cosβ=(√(3))/(6)a，
BC杆所组成面对杆的作用力F_N，力臂等于四面体的高h，
L_FN=h=(√(6))/(3)a，由杠杆的平衡条件得：GL_人+GL_重=FL_F+F_NL_FN，
即G×(√(3))/(6)a+G×(√(3))/(6)a=F×(√(6))/(3)a+F_N×(√(6))/(3)a，解得：F_N=(√(2))/(4)G，
A杆顶端所受作用力的大小：
F_合=√(F2+FN2+2FFNcosα)=√(((√(2))/(4)G)2+((√(2))/(4)G)2+×(√(2))/(4)G×(√(2))/(4)G×(1)/(3))=(√(3))/(3)G，
方向斜向右上方，如图所示．
答：（1）A杆顶端所受作用力的大小为F=(√(2))/(4)G，方向水平向左．
（2）A杆顶端所受作用力的大小为(√(3))/(3)G，方向斜向右上方，如图所示．