椅子能在不平的地面上放稳吗

Question

椅子能在不平的地面上放稳吗

Answer 1

椅子能在不平的地面上放稳吗?
把椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然而只要稍挪动几次,就可以四脚着地,放稳了.下面用数学语言证明.
一、 模型假设
对椅子和地面都要作一些必要的假设：
1、 椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触可视为一个点,四脚的连线呈正方形.
2、 地面高度是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况）,即地面可视为数学上的连续曲面.3、 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.
二、模型建立 中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论.
首先用变量表示椅子的位置,由于椅脚的连线呈正方形,以中心为对称点,正
方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变,于是可以用旋转角度这一变量来表示椅子的位置.
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来,如果用某个变量表示椅
B B
A
C A x
C
D D
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脚与地面的竖直距离,当这个距离为0时,表示椅脚着地了.椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数.
由于正方形的中心对称性,只要设两个距离函数就行了,记A、C两脚与地面距离之和为f,B、D两脚与地面距离之和为g,显然f、0g,由假设2知f、g都是连续函数,再由假设3知
f、g至少有一个为0.当0时,不妨设0,0fg,这
样改变椅子的位置使四只脚同时着地,就归结为如下命题：命题 已知f、g是的连续函数,对任意,f*g=0,且00,00fg,则存在0,使000fg.
三、模型求解
将椅子旋转090,对角线AC和BD互换,由00,00fg可知
02,02fg.令fgh,则02,00hh,由f、g
的连续性知h也是连续函数,由零点定理,必存在2000使
00h,00fg,由0*00fg,所以000fg.
四、评 注
模型巧妙在于用已元变量表示椅子的位置,用的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转090并不是本质的,同学们可以考虑四脚呈长方形的情形