四只脚连线成长方形的椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,有人认为挪动几次就可以四只脚着地放稳了,对么?（分析,建立模型并得出结论）

Question

四只脚连线成长方形的椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,有人认为挪动几次就可以四只脚着地放稳了,对么?（分析,建立模型并得出结论）

Answer 1

把椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然而只要稍挪动几次,就可以四脚着地,放稳了.下面用数学语言证明.
一、\x05模型假设
对椅子和地面都要作一些必要的假设：
1、\x05椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触可视为一个点,四脚的连线呈正方形.
2、\x05地面高度是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况）,即地面可视为数学上的连续曲面.
3、\x05对于椅脚的间距和椅脚的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.
二、模型建立
中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论.
首先用变量表示椅子的位置,由于椅脚的连线呈正方形,以中心为对称点,正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变,于是可以用旋转角度 这一变量来表示椅子的位置.
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来,如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离,当这个距离为0时,表示椅脚着地了.椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数.
由于正方形的中心对称性,只要设两个距离函数就行了,记A、C两脚与地面距离之和为 ,B、D两脚与地面距离之和为 ,显然 、 ,由假设2知f、g都是连续函数,再由假设3知 、 至少有一个为0.当 时,不妨设 ,这样改变椅子的位置使四只脚同时着地,就归结为如下命题：
命题 已知 、 是 的连续函数,对任意 ,* =0,且 ,则存在 ,使 .
三、模型求解
将椅子旋转 90,对角线AC和BD互换,由 g(0)=0,f(0)大于0可知 .令g(PI/2)大于0,f(PI/2)=0 ,则 ,由f、g的连续性知h也是连续函数,由零点定理,必存在 使 x0,,由 ,所以 .