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(2009•沈阳模拟)如图,在直角坐标系中,等边△OAB的边OB与x轴重合,顶点O是坐标原点,且点A的坐标为(1,3),过点A的动直线l从AB出发,以点A为中心,沿逆时针方向旋转且与x轴的正半
题目详情
(2009•沈阳模拟)如图,在直角坐标系中,等边△OAB的边OB与x轴重合,顶点O是坐标原点,且点A的坐标为(1,
),过点A的动直线l从AB出发,以点A为中心,沿逆时针方向旋转且与x轴的正半轴交于点C,以线段AC为边在直线l的上方作等边△ACD.
(1)求证:△AOC≌△ABD;
(2)当等边△ACD的边DC与x轴垂直时,求点D的坐标;
(3)在直线L的运动过程中,等边△ACD的顶点D的坐标在变化,设直线BD交y轴于点E,点E的坐标是否发生变化?若没有变化,求点E的坐标和直线BD的函数表达式;如果发生变化,请说明理由.
(4)当直线L继续绕点A旋转且与x轴的负半轴交于点C,其他条件不变时,等边△ACD的顶点D是否在一条固定的直线上运动?如果是,请直接写出这条函数表达式;如果不是,请直接回答“不是”.
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(1)求证:△AOC≌△ABD;
(2)当等边△ACD的边DC与x轴垂直时,求点D的坐标;
(3)在直线L的运动过程中,等边△ACD的顶点D的坐标在变化,设直线BD交y轴于点E,点E的坐标是否发生变化?若没有变化,求点E的坐标和直线BD的函数表达式;如果发生变化,请说明理由.
(4)当直线L继续绕点A旋转且与x轴的负半轴交于点C,其他条件不变时,等边△ACD的顶点D是否在一条固定的直线上运动?如果是,请直接写出这条函数表达式;如果不是,请直接回答“不是”.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵△OAB和△ACD是等边三角形,
∴AO=AB,AC=AD,∠OAB=∠CAD=60°,
又因∠OAC=∠OAB+∠BAC,∠BAD=∠BAC+∠CAD,
∴∠OAC=∠BAD,
∴△AOC≌△ABD.
(2)∵DC⊥x轴,△ACD为等边三角形,
∴∠DCO=90°,∠DCA=60°
∴∠ACO=∠DCO-∠DCA=30°,
过点A作AG⊥x轴,垂足为G,如图所示:
∵点A的坐标为(1,
),
∴AG=
,0B=2OG=2,
在RT△ACG中,∠ACO=30°,
∴AC=2AG=2
,GC=
=3
∴OC=4,DC=AC=2
,
∴点D的坐标为(4,2
),
答:点D的坐标为(4,2
).
(3)点E的坐标不变,
由(1)得∠ABD=∠AOC=60°,
∴∠DBC=180°-60°-60°=60°,
过点D作DH⊥x轴,如图所示:设点D 的坐标为(x,y),
∴DH=y,OH=x,在RT△DBH中,DH=BHtan∠DBC=BHtan60°=(OH-OB)
,
即y=(x-2)
∴AO=AB,AC=AD,∠OAB=∠CAD=60°,
又因∠OAC=∠OAB+∠BAC,∠BAD=∠BAC+∠CAD,
∴∠OAC=∠BAD,
∴△AOC≌△ABD.
(2)∵DC⊥x轴,△ACD为等边三角形,
∴∠DCO=90°,∠DCA=60°
∴∠ACO=∠DCO-∠DCA=30°,
过点A作AG⊥x轴,垂足为G,如图所示:
∵点A的坐标为(1,
3 |
∴AG=
3 |
在RT△ACG中,∠ACO=30°,
∴AC=2AG=2
3 |
AG |
tan30° |
∴OC=4,DC=AC=2
3 |
∴点D的坐标为(4,2
3 |
答:点D的坐标为(4,2
3 |
(3)点E的坐标不变,
由(1)得∠ABD=∠AOC=60°,
∴∠DBC=180°-60°-60°=60°,
过点D作DH⊥x轴,如图所示:设点D 的坐标为(x,y),
∴DH=y,OH=x,在RT△DBH中,DH=BHtan∠DBC=BHtan60°=(OH-OB)
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即y=(x-2)
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