（2014•义乌市三模）在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，3），过点B作直线∥x轴，点P（a，3）是直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰RtAPQ，∠APQ=Rt∠，直线AQ交y轴于点C．（1）当a=1时

Question

（2014•义乌市三模）在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，3），过点B作直线∥x轴，点P（a，3）是直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰RtAPQ，∠APQ=Rt∠，直线AQ交y轴于点C．
（1）当a=1时，则点Q的坐标为______； 
（2）当点P在直线上运动时，点Q也随之运动．当a=

(7)/(11)

(7)/(11)

时，AQ+BQ的值最小为

√(73)

√(73)

．

Answer 1

（1）过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点Q作QF⊥BP，垂足为F，如图1．
∵BP∥OA，PE⊥OA，∴∠EPF=∠PEO=90°．
∵∠APQ=90°，∴∠EPA=∠FPQ=90°-∠APF．
在△PEA和△PFQ中，

∠EPA＝∠FPQ

∠PEA＝∠PFQ＝90°

PA＝PQ

∴△PEA≌△PFQ．
∴PE=PF，EA=QF．
∵a=1，∴P（1，3）．∴OE=BP=1，PE=3．
∵A（2，0），∴OA=2，∴EA=1．∴PF=3，QF=1．
∴点Q的坐标为（4，4）．
（2）若点P的坐标为（a，3），则PF=PE=3，QF=AE=|2-a|．
∴点Q的坐标为（a+3，5-a）．
∵无论a为何值，点Q的坐标（a+3，5-a）都满足一次函数解析式y=-x+8，
∴点Q始终在直线y=-x+8上运动．
设直线y=-x+8与x轴、y轴分别交于点M、N，如图2所示．
当x=0时y=8，当y=0时x=8．∴OM=ON=8．
∵∠AOB=90°，∴∠OMN=45°．
过点A关于直线MN作对称点A′，连A′Q、A′M，
则A′Q=AQ，A′M=AM=6，∠A′MN=∠AMN=45°．
∴∠A′MA=90°，AQ+BQ=A′Q+BQ．根据两点之间线段最短可知：
当A′、Q、B三点共线时，AQ+BQ=A′Q+BQ最短，最小值为A′B长．
设直线BP与A′M相交于点H，则BH⊥A′M．
在Rt△A′HB=90°，BH=OM=8，A′H=A′M-MH=6-3=3，
∴A′B=√(BH2+A′H2)=√(82+32)=√(73)．
当A′、Q、B三点共线时，
∵BN∥A′M，∴△BQN～△A′QM．
根据相似三角形对应高的比等于相似比可得：
(xQ)/(8−xQ)=(BN)/(A′M)=(8−3)/(6)，解得x_Q=(40)/(11)．
∴a+3=