如图1，在平面直角坐标系中，已知点B（23，2），△AOB为等边三角形，P是x轴负半轴上一个动点（不与原点重合），以线段AP为一边在其右侧作等边△APQ．（1）求点A的坐标；（2）如图1，在点

Question

如图1，在平面直角坐标系中，已知点B（2√(3)，2），△AOB为等边三角形，P是x轴负半轴上一个动点（不与原点重合），以线段AP为一边在其右侧作等边△APQ．
（1）求点A的坐标；
（2）如图1，在点P的运动过程中，总有△AOP≌△ABQ．请证明这个结论．
（3）如图2，连接OQ，当OQ∥AB时，求点P的坐标．

Answer 1

（1）如图1，过B作BD⊥x轴，交x轴于点D，

∵B点坐标为（2√(3)，2），
∴OD=2√(3)，BD=2，
在Rt△OBD中，由勾股定理可得OB=4，
∵△AOB为等边三角形，
∴OA=OB=4，
∴A点坐标为（0，4）；
（2）证明：
∵△AOB和△APQ都是等边三角形，
∴AP=AQ，AO=AB，∠PAQ=∠OAB=60°，
∴∠PAO+∠OAQ=∠QAB+∠OAQ，
∴∠PAO=∠QAB，
在△AOP和△ABQ中

AO=AB

∠PAO=∠QAB

AP=AQ

∴△AOP≌△ABQ（SAS）；
（3）连接BQ，如图2，

由（2）可知△AOP≌△ABQ，
∴∠ABQ=∠AOP=90°，BQ=OP，
∵AB∥OQ，
∴∠BOQ=∠ABO=60°，∠BQO=90°，
∵OB=4，
∴在Rt△BQO中，OQ=2，
∴BQ=2√(3)，
∴OP=2√(3)，
∴P点坐标为（-2√(3)，0）．