在平面直角坐标系中，已知，A（-4，0），B（1，0）且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C（0，2），过点C作圆的切线交x轴于点D．（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；

Question

在平面直角坐标系中，已知，A（-4，0），B（1，0）且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C（0，2），过点C作圆的切线交x轴于点D．
（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由？
（4）若动点M在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点N，使得以A、B、N、M四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）令二次函数y=ax²+bx+c，则

16a−4b+c＝0

a+b+c＝0

c＝2

       
∴

a＝−(1)/(2)

b＝−(3)/(2)

c＝2

，
∴过A，B，C线的解析式为y＝−(1)/(2)x2 −(3)/(2)x+2；

（2）以AB径的圆圆心坐标为O′（-(3)/(2)，0），
∴O′C＝(5)/(2)  O′O＝(3)/(2)
QCD为圆O′切线  
∴OC′⊥CD
∴∠O′CD+∠DCO=90°
∠CO′O+∠OCO=90°  
∴∠CO′O=∠DCO
∴△O′CO∽△CDO，
∴(O′O)/(OC)=(OC)/(OD)，
∴((3)/(2))/(2)＝(2)/(OD)  
∴OD＝(8)/(3)
∴D坐标为（(8)/(3)，0）；

（3）存在．
抛物线对称轴为x=-

作业搜用户 2017-10-14